С 1968 года работал в Ботаническом институте им. В.Л. Комарова РАН ведущим специалистом в области систематики семейства Сложноцветные. Принимал активное участие в изучении флоры российской и зарубежной Арктики и выполнил обзоры большинства родов сем. Сложноцветные в рамках Международного проекта «Панарктическая флора».

Экспедиционная работа Александра Александровича охватила практически всю территорию России и Монголии.

В 1989 году ему была присуждена Государственная премия СССР за коллективную 10-томную монографию «Арктическая флора СССР».

С 1986 по 2001 г. был заместителем директора БИН РАН.

В молодые годы А.А. Коробков являлся ветераном подразделений особого риска Российской Федерации. В период прохождения срочной службы на архипелаге Новая Земля (1959—1963 гг.) принимал непосредственное участие в испытаниях атомного оружия на Центральном полигоне РФ.