Родился в Ливерпуле. Изучал ботанику в Ливерпульском университете. В качестве диссертации доктора философии под руководством Вернона Хейвуда подготовил работу, посвящённую роду Повой (Calystegia), которую защитил в 1963 году.

Работал на Министерство заокеанского развития Великобритании, принимал участие в подготовке монографии Flora Zambesiaca в Африканском отделении Гербария Кью. С 1968 года Браммит был научным сотрудником Гербария Кью.

На протяжении 36 лет (с 1975 по 2011) он был секретарём Комитета по сосудистым растениям, участвовал в шести Международный ботанических конгрессах (1975—2005).

Преподавал ботаническую номенклатуру в Эдинбургском и Редингском университетах. Неоднократно путешествовал в Африку, в 1970 году впервые посетил Малави.

Умер 18 сентября 2013 года после продолжительной болезни.