Военно-морской врач, гидрограф, изобретатель, лейтенант российского флота (1896), исследователь Северного Ледовитого океана и озера Байкал. Родился в Петербурге в семье выдающегося русского медика Сергея Петровича Боткина. Родной брат лейб-медика Евгения Сергеевича Боткина, казненного в 1918 г. вместе с царской семьей.
В 1890 г. окончил Императорскую Военно-медицинскую академию, в 1892 г. получил степень доктора медицины и был переведен в Морское ведомство с назначением младшим судовым врачом на крейсер «Рында». В 1893 г. во время плавания сдал экзамен на звание мичмана.
Долгие годы жизнь А. С. Боткина была связана с военно-морским флотом: он был участником многих экспедиций не только в качестве медика, но и гидрографа:
1895–1896 гг. — помощник начальника Гидрографической экспедиции по изучению устьев рек Енисея и Оби и части Карского моря А.И. Вилькицкого. Исполняет обязанности штурмана, старшего врача и заведующего «естественно-историческими» коллекциями.
1897–1899 гг. — помощник начальника Гидрографической экспедиции Байкальского озера Ф.К. Дриженко.
Исследования Боткина не ограничивались Байкалом и распространялись на впадающие в него реки, озеро Фролиха и Гусиное озеро (всего 60 точек сбора). Собранные у берегов Байкала и на склонах хребта Хамар-Дабан гербарий высших растений Боткин передал в Императорский Ботанический сад, а в Императорскую Академию наук — эндемичные виды рыб, ракообразных и байкальскую губку.
1898 г. — помощник начальника Гидрографической экспедиции Северного Ледовитого океана А.И. Вилькицкого.