В 1928 г. закончил единую трудовую школу-девятилетку в Ленинграде. По окончании курсов младшего геологического состава при Институте цветных металлов работал коллектором в Южно-Енисейской партии и одновременно учился на Высших геологических курсах при Ленинградском горном институте.

В июле 1931 г. в составе экспедиции, возглавляемой Ю. А. Билибиным, Васьковский едет на Колыму. В 1931–1932 гг. возглавляет геологические партии, проводившие исследования в бассейне Нереги и частично Оротукана.

В 1933 г. Алексей Петрович выезжает в Ленинград, где участвует в обработке материалов экспедиции Ю. А. Билибина, затем материалов Верхне-Колымской экспедиции 1933–1934 гг. В. А. Цареградского. В 1937 г. ими был подготовлен «Геологический очерк Колымо-Индигирского края». В это время А. П. Васьковский написал свою первую самостоятельную работу о золотоносных дайках Колымского края.

В 1937 г. по ходатайству руководства Дальстроя уехал на Северо-Восток. За время работы на Индигирке А. П. Васьковский руководил группой поисковых партий, открывших россыпное месторождение золота Туора-Тас, на базе которого впоследствии работал один из крупнейших приисков Дальстроя «Ольчан». В 1938–1939 гг. он – технический руководитель геолого-разведочных работ, и. о. начальника Индигирского ГРУ. За этот период верховья Индигирки были покрыты геологической съемкой полумиллионного и отчасти стотысячного масштаба, был открыт и разведан ряд месторождений золота, Аляскитовое олово-вольфрамовое месторождение, угленосный Момский район и т. п.

В городе на Неве застала Васьковского начавшаяся война, но он продолжил важнейшие лабораторные работы. Весной 1942 г. через Ладожское озеро он выехал из блокадного города и в июле прибыл в Магадан. Его назначают старшим геологом и начальником партии научно-исследовательского отдела геолого-разведочного управления Дальстроя, а с ноября того же года он возглавляет его до 1948 г.

Последнее место работы Васьковского – Институт биологических проблем Севера, где он заведовал лабораторией ландшафтоведения и охраны природы с 1972-го по 1979 г. В 1973 г. А. П. Васьковским было впервые обосновано создание заповедников в разработанной им системе особо охраняемых территорий Магаданской области, Чукотского автономного округа и сопредельных районов Якутии. Будучи членом Президиума Магаданского областного совета Всероссийского общества охраны природы, он в 1974 г. выступил с инициативой создания Магаданского комплексного заповедника. Его идея осуществилась в 1982 г., уже после его смерти.

Умер Алексей Петрович Васьковский 16 августа 1979 г., похоронен на Марчеканском кладбище Магадана.